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Proceedings of the London Mathematical Society Advance Access published online on June 20, 2009
Proceedings of the London Mathematical Society, doi:10.1112/plms/pdp022
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© 2009 London Mathematical Society

Théorie ergodique des fractions rationnelles sur un corps ultramétrique

Charles Favre

CNRS et Institut de Mathématiques de Jussieu
Équipe Géométrie et Dynamique
Case 7012, 2 place Jussieu
F-75251 Paris Cedex 05
France
and
Unidade Mista CNRS-IMPA
Dona Castorina 110
Rio de Janeiro
22460-320
Brazil
favre@math.jussieu.fr

Juan Rivera-Letelier

Facultad de Matemáticas
Campus San Joaquín
P. Universidad Católica de Chile
Avenida Vicuña Mackenna 4860
Santiago
Chile

Received 18 September 2008. Revision received 2 April 2009.

Résumé: On donne les premiers éléments pour l’étude des propriétés ergodi-ques d’une fraction rationnelle à coefficients dans un corps algébriquement clos et complet pour une norme non archimé-dienne. En particulier, pour une telle fraction rationnelle R on montre l’existence d’une mesure naturelle {rho}R représentant la distribution asymptotique des préimages itérées de chaque point non exceptionnel de R. On montre que cette mesure est (exponentiellement) mélangeante, et qu’elle satisfait au théorème limite central. De plus, on donne une estimation de l’entropie métrique de cette mesure, et de l’entropie topologique de R, qui permettent de caractériser les fractions rationnelles d’entropie topologique nulle.

We make the first steps towards an understanding of the ergodic properties of a rational map defined over a complete algebraically closed non-archimedean field. For such a rational map R, we construct a natural invariant probability measure {rho}R which represents the asymptotic distribution of preimages of non-exceptional points. We show that this measure is exponentially mixing, and satisfies the central limit theorem. We prove some general bounds on the metric entropy of {rho}R, and on the topological entropy of R. We finally prove that rational maps with vanishing topological entropy have potential good reduction.

2000 Mathematics Subject Classification 37F10 (primary); 11S85, 37E25 (secondary).

Les deux auteurs ont été financé partiellement par le projet ECOS-Sud No. C07E01, ainsi que par le projet ANR-Berko. C.F. remercie chaleureusement le project FONDECYT N 7050221 de la CONICYT, Chile, qui a permis son séjour à l’Universidad Católica del Norte. J.R.-L. est partiellement soutenu par les projets FONDECYT N 1040683 et Research Network on Low Dimensional Dynamics, PBCT ACT-17, de la CONICYT, Chile, et par le project MeceSup UCN 0202.


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